<高等数学>AM1 函数与极限

AM1 函数与极限

映射：对于非空集合 $X,Y$，存在规则 $f$，其对于 $x\in X$ 都有 唯一 的 $y\in Y$，使得 $f(x)=y$ 成立。则 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的 映射，记为 $f:X\rarr Y$。其中 $Y$ 称为像，$X$ 称为原像。

定义域、值域：其中 $X$ 又称为 定义域，记为 $D_f$。所有 $y$ 的集合称为 值域，记为 $R_f$。

映射的三要素，即定义域 $X$，值域 $R_f$，规则 $f$。

满射、双射、单射：若 $R_f = Y$，则 $f$ 为 满射。若有 $f(x_1)=f(x_2)\Rarr x_1=x_2$，则 $f$ 为 单射。既是单射又是满射的，称为 双射。

逆映射：设 $f:X\rarr Y$ 单射，若对于每个 $y\in R_f$，存在唯一的 $x\in X$ 满足 $f(x)=y$，则其 逆映射 $g:R_f\rarr X$ 记为 $f^{-1}$。此时 $D_{f^{-1} }=R_f$，且 $R_{f^{-1} }=X$

复合映射：设映射 $g:X\rarr Y_1$ 与 $f:Y_2\rarr Z$，且 $Y_1\subseteq Y_2$。则有 $f[g(x)]\in Z$。此时函数的复合记为 $f\circ g:X\rarr Z$。此外，有左复合和右复合。

函数：若 $D\subset R$，$f:D\rarr R$，则 $f$ 为 函数，记 $y=f(x),\ x\in D$，其中 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为其定义域，$R_f=f(D)$ 为其值域。

函数的两要素，即定义域 $D$，规则 $f$

AM1.1 函数的几种特性

1. 有界性

   上界：若有 $k_1$ 使得 $\forall x\in D,f(x)\le k_1$，则 $k_1$ 为函数 $f$ 的一个 上界

   下界：若有 $k_2$ 使得 $\forall x\in D,f(x)\ge k_2$，则 $k_2$ 为函数 $f$ 的一个 下界

   有界：若存在正数 $M$，使得 $\forall x\in D,|f(x)|\le M$，则称函数 $f$ 有界。

2. 单调性

   对于 $\forall x_1,x_2\in D$，若对于 $x_1<x_2$ 必有 $f(x_1)<f(x_2)$

   或对于 $x_1<x_2$ 必有 $f(x_1)>f(x_2)$

3. 奇偶性

   $D$ 关于原点对称时，对于 $\forall x\in D$ 有

   偶函数：$f(x)=f(-x)$。偶函数图像关于 $y$ 轴对称

   奇函数：$f(x)=-f(-x)$。奇函数图像关于原点对称

4. 周期性

   对于 $\forall x\in D$，$\exist l$ 使得 $f(x+l)=f(x)$

   并非每个周期函数都有最小周期。

AM1.2 一些特别的函数

反函数：若 $f:D\rarr f(D)$ 单射，则其反函数 $f^{-1}:f(D)\rarr D$。若 $f$ 为单调函数，则 $f^{-1}$ 也是单调函数，且二者单调性相同。

复合函数：若有函数 $y=f(t)$ 与 $t=f(x)$，则其复合函数 $y=f(g(x))$，此时 $t$ 为中间变量

反三角函数：三角函数的反函数

$y=\sin x$ 的反三角函数为 $y=\arcsin x$，有 $\sin(\arcsin a)=a$。定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$。

$y=\cos x$ 的反三角函数为 $y=\arccos x$，有 $\cos(\arccos a)=a$。定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[0,\pi]$。

$y=\tan x$ 的反三角函数为 $y=\arctan x$，有 $\tan(\arctan a)=a$。定义域为 $(-\infin,+\infin)$，值域为 $(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$

$y=\cot x$ 的反三角函数为 $y=\operatorname{arccot} x$，有 $\cot(\operatorname{arccot} a)=a$。定义域为 $(-\infin,+\infin)$，值域为 $(0,\pi)$

初等函数：由幂函数（$y=x^a$）、指数函数（$y=a^x$）、三角函数、反三角函数、对数函数（$\log_k x$）与常数 $n$ 经过有限次运算、复合产生的函数

数列：若函数定义域为正整数集 $N^+$，则 $f:N^+\rarr R$ 称为数列。数列 $f(n)$ 可写作 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ 或简单记为 $\{a_n\}$，其中 $a_n$ 称为该数列的 一般项（通项）

AM1.3 收敛数列

数列极限：若 $\{x_n\}$ 是数列，$\forall\epsilon>0$，$\exist N$ 使得 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$，则 $a$ 称为该数列的 极限。记为 ${\lim_{n\rarr\infin} \\ } x_n=a$

收敛、发散：存在数列极限的数列称为 收敛数列。非极限数列称为 发散数列。

收敛数列有如下性质：

• 收敛数列的极限是唯一的。

  证明过程

• 收敛数列一定有界。

  证明过程

• 收敛数列具有保号性

  若 ${\lim_{n\rarr\infin} \\ } x_n=a$，且 $a>0$，则 $\exist N>0$，使得 $n>N$ 时，$|x_n|>0$

  或者当 $a<0$ 时，$\exist N>0$，使得 $n>N$ 时，$|x_n|<0$

  证明过程

• 收敛数列的任一子数列都收敛于同一极限

  证明过程

AM1.4 函数的极限

有限数极限（$x\rarr x_0$）

$f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义（在 $x_0$ 处可以没有定义）。

若 $\exist A$，对于 $\forall\epsilon>0,\exist\delta>0$，使得 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，都有 $|f(x)-A|<\epsilon$

则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 极限。记为 ${\lim_{x\rarr x_0} \\}f(x)=A$，或 $f(x)\rarr A(x\rarr x_0)$

从该点左侧无限逼近取到的极限为 左极限，记为 ${\lim_{x\rarr x_0^-}\\ }f(x)=A$

从该点右侧无限逼近取到的极限为 右极限，记为 ${\lim_{x\rarr x_0^+}\\ }f(x)=A$

可见，$x\rarr x_0$ 时，$f(x)$ 的极限存在，当且仅当其左右极限 同时存在且相等。与 $f(x_0)$ 是否有定义、是否等于极限值无关。

无穷的极限（$x\rarr\infin$）

对于 $\forall\epsilon>0$，存在 $\exist X>0$ 使得 $|x|>X$ 时，都有 $|f(x)-A|<\epsilon$

则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $\infin$ 的极限。记为 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}f(x)=A$

若不指明 $+\infin$ 或 $-\infin$，则同时包含两种情况

极限的性质

• 函数极限有唯一性

• 函数极限有局部有界性

  若函数极限存在，则存在 $\exist M>0,\delta>0$，使得对于 $0<|x-x_0|<\delta$，都有 $|f(x)|<M$

• 函数极限有局部保号性

  若 ${\lim_{x\rarr x_0^-}\\ }f(x)=A>0$，则 $\exist\delta>0$，使得 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，都有 $f(x)>0$

  反之，若 ${\lim_{x\rarr x_0^-}\\ }f(x)=A<0$，则 $\exist\delta>0$，使得 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，都有 $f(x)<0$

• 若函数 $f(x)$ 的极限 ${\lim_{x\rarr x_0} \\}f(x)=A$，数列 $\{a_n\}$ 为收敛数列且 $\{a_n\}\rarr x_0$

  则有 ${\lim_{n\rarr \infin} \\}f(a_n)={\lim_{x\rarr x_0} \\}f(x)=A$

无穷小（无穷小量）

若有 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}f(x)=0$（或 ${\lim_{x\rarr x_0} \\}f(x)=0$），则称 $f(x)$ 是 $x\rarr\infin$（或 $x\rarr x_0$）时的 无穷小

可见常数 $C=0$ 是无穷小。

无穷小的常数倍，无穷小间相加、相减、相乘，结果都是无穷小。无穷小间相除，结果是未知。

无穷大

若有 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}f(x)=\infin$（或 ${\lim_{x\rarr x_0} \\}f(x)=\infin$），则称 $f(x)$ 为当 $x\rarr\infin$（或 $x\rarr x_0$）时的 无穷大。记作 $\infin$

无穷大的非零常数倍、无穷大间相乘，结果都是无穷小。无穷大间相加、相减、相除，结果是未知。

零乘以无穷大，结果为零。无穷小乘以无穷大，结果也是未知。

可见，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大。

极限运算法则

• 两个无穷小之和是无穷小。乃至于 有限个 无穷小之和都是无穷小。

• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

  推论：无穷小的常数倍是无穷小

  推论：有限个无穷小的乘积仍是无穷小

• 若在 $x$ 的变化过程中，有 $\lim f(x)=A$ 和 $\lim g(x)=B$

  则有 $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$

  $\quad\lim [f(x)\times g(x)]=\lim f(x)\times \lim g(x)=A\times B$

  $B\not=0$ 时也有 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}$

  以上结论也能推广到有限个函数

  推论：$\lim cf(x)=c\lim f(x)$，其中 $c$ 是常数

  推论：$\lim f(x)^n=(\lim f(x))^n$

• 若 $\phi (x)\ge\psi(x)$，则 $\lim\phi(x)\ge\lim\psi(x)$

  要注意即使 $\phi (x)>\psi(x)$，依然是 $\lim\phi(x)\ge\lim\psi(x)$

极限存在准则

• 夹逼定理

  对于数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$，$\exist n_0\in N$，当 $n>n_0$ 时，$y_n\le x_n\le z_n$

  若 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}y_n=A$ 且 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}z_n=A$，则必有 ${\lim_{x\rarr \infin} \\}x_n=A$

• 单调有界数列必有极限

一些重要极限

• ${\lim_{x\rarr 0} \\}\dfrac{\sin x}{x}=1$

  证明过程

• ${\lim_{x\rarr \infin} \\}(1+\dfrac{1}{x})^x=e$

  证明过程

等价无穷小

若无穷小 $\beta,\alpha$ 间存在 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=0$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 高阶无穷小。记作 $\beta=o(\alpha)$

若无穷小 $\beta,\alpha$ 间存在 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=\infin$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 低阶无穷小

若无穷小 $\beta,\alpha$ 间存在 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=C$（$C$ 是常数），则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 同阶无穷小

若无穷小 $\beta,\alpha$ 间存在 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha^k}=C$（$C$ 是常数），则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 k 阶无穷小

若无穷小 $\beta,\alpha$ 间存在 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 等价无穷小，记作 $\beta\sim\alpha$

有定理：

• $\beta\ 与\ \alpha\ 等价\Harr\beta=\alpha+o(\alpha)$
• 若 $\alpha\sim\overset{\sim}\alpha$，$\beta\sim\overset{\sim}\beta$，且 $\lim\dfrac{\beta}{\overset{\sim}\beta}$ 存在，则 $\lim\dfrac{\beta}{\overset{\sim}\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\overset{\sim}\alpha}$

求两个等价无穷小的比的极限时，可把分子或分母用等价无穷小替换。

分子或分母是若干因子的乘积时，可对其中一个或几个因子做等价无穷小替换。

常见的等价无穷小

当 $x\rarr 0$ 时：

• $a^x-1\sim x\ln a$
• $ax\sim \arcsin ax\sim \sin ax\sim \arctan ax\sim \tan ax$
• $x\sim\ln(a+x)\sim \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$
• $(a+ax)^b-1\sim abx$
• $\sqrt[b]{1+ax}-1\sim\dfrac{a}{b}x$
• $\dfrac{x^2}{2}\sim 1-\cos x\sim x-\ln(1+x)$
• $\dfrac{x^3}{2}\sim\tan x-\sin x$
• $\dfrac{x^3}{3}\sim\tan x-x\sim x-\arctan x$
• $\dfrac{x^3}{6}\sim x-\sin x\sim \arcsin x-x$

AM1.5 函数的连续性

增量（该变量）：自变量取不同的值所对应的函数值之差。$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

连续性：${\lim_{\Delta x\rarr 0}\\ } \Delta y=0$ 或 ${\lim_{\Delta x\rarr x_0}\\ } f(x)=f(x_0)$

若 ${\lim_{\Delta x\rarr x_0^-}\\ } f(x)=f(x_0)$ 则称为 左连续；若 ${\lim_{\Delta x\rarr x_0^+}\\ } f(x)=f(x_0)$ 则称为 右连续

可见，函数在某处连续的充要条件是：函数在该处左、右连续

连续的三个条件：函数在 $x_0$ 处有极限；函数在 $x_0$ 处有定义；函数在 $x_0$ 处的极限等于函数值

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，称 $x_0$ 为 间断点。

间断的三种情况：函数在 $x_0$ 处无极限；函数在 $x_0$ 处无定义；函数在 $x_0$ 处的极限不等于函数值

左右极限都存在的间断点称为 第一类间断点，此外的称为 第二类间断点

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则有以下性质：

• 最值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 内有界，且存在最大值、最小值。

• 零点定理：若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么在 $(a,b)$ 内至少有 $f(x)$ 的一个零点

  方程 $f(x)=0$ 的根称为函数 $f(x)$ 的 零点。

  证明过程

• 介值定理：若 $f(a)\ne f(b)$，则对 $f(a),f(b)$ 间的任意值 $c$，至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得

  证明过程