<高等数学>AM2 导数与微分

AM2 导数与微分

AM2.1 导数

若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义，在 $x_0$ 处取 $\Delta x$，使 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x)$

若 ${\lim_{\Delta x\rarr 0}\\ }\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 可导，称 ${\lim_{\Delta x\rarr 0}\\ }\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 为 导数值

表示方法有：$f'(x_0)\quad y'\big|_{x=x_0}\quad \dfrac{dy}{\operatorname{dx} }\big|_{x=x_0}\quad \dfrac{df(x)}{\operatorname{dx} }\big|_{x=x_0}$

${\lim_{\Delta x\rarr 0^+}\\ }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 称为 左导数，${\lim_{\Delta x\rarr 0^-}\\ }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 称为 右导数

可见，函数在某处可导的充要条件是：函数在该处左、右导数存在且相等

可导必定连续（连续不一定可导）。

求导法则

$u,v$ 是函数，则

• $(u+v)'=u'+v'$
• $(u-v)'=u'-v'$
• $(uv)'=u'v+uv'$
• $(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

若 $x=f(y)$ 在 $I_y$ 内单调可导，且 $f'(y)\ne 0$，则其反函数有 $[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(y)}$

复合函数的求导（链式法则）

若 $u=g(x)$ 可导，$y=f(u)$ 可导，则 $y=f(g(x))$ 可导，其导数 $\dfrac{dy}{\operatorname{dx} }=f'(u)g'(x)$

常用的求导公式

原函数	导函数
$y=c$	$y'=0$
$y=a^x$	$y'=a^x\ln a$
$y=e^x$	$y=e^x$
$y=x^n$	$y'=nx^{n-1}$
$y=\log_a x$	$y'=\dfrac{1}{x\ln a}$
$y=\ln x$	$y'=\dfrac{1}{x}$
$y=\sin x$	$y'=\cos s$
$y=\cos x$	$y'=-\sin x$
$y=\tan x$	$y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x$
$y=\cot x$	$y'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x$
$y=\sec x$	$y'=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\sec x\tan x$
$y=\csc x$	$y'=-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\csc x\cot x$
$y=\arcsin x$	$y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\\}$
$y=\arccos x$	$y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\\}$
$y=\arctan x$	$y'=\dfrac{1}{1+x^2}$
$y=\operatorname{arccot} x$	$y'=-\dfrac{1}{1+x^2}$

高阶导数

一阶导数的导数称为二阶导数。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。

二阶导数可表示为 $y''$、$\dfrac{d\frac{dy}{\operatorname{dx} } }{\operatorname{dx} }$、$\dfrac{d^2y}{\operatorname{dx}^2}$。$n$ 阶导数也可以直接表示为 $y^{(n)}$

此时的求导法则有：

• $(u+v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}$
• $(uv)^{n}={\sum^n_{k=0}\\ }C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}=C^0_nu^{(n)}v+C^1_nu^{(n-1)}v'+\ldots+C^n_nuv^{(n)}$

隐函数求导

若函数表示为 $f(x,y)=0$ 的形式，则称其为 隐函数

要求解 $y'$，只需利用 $f'(x,y)=0'=0$

参数方程求导

若有 $t$ 为参数的参数方程 $\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则其导函数 $\dfrac{dy}{\operatorname{dx} }=\dfrac{\dfrac{dy}{dt} }{\dfrac{\operatorname{dx} }{dt} }$

其高阶导数 $\dfrac{d^2y}{\operatorname{dx}^2}=\dfrac{(d\dfrac{dy}{\operatorname{dx} })}{\operatorname{dx} }=\dfrac{\dfrac{(d\frac{dy}{\operatorname{dx} })}{dt} }{\dfrac{\operatorname{dx} }{dt} }$

AM2.2 微分

有函数 $y=f(x)$，自变量在 $x_0$ 处的改变量为 $\Delta x$，函数改变量为 $\Delta y$

若有 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的函数，$o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 可微。此时 $dy=A\Delta x$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 微分。记为 $dy\big|_{x=x_0}$

显然 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+\dfrac{o(x)}{\Delta x}$，故 ${\lim_{\Delta x\rarr 0} \\ }\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A=f'(x_0)$。也就是说，$dy=f'(x)\operatorname{dx}$

可见 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微的充要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导

在 $x\rarr 0$ 时，有以下公式成立：

• $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$
• $\sin x\approx x$
• $\tan x\approx x$
• $e^x\approx 1+x$
• $\ln(1+x)\approx x$

#微分中值定理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $u(x_0)$ 有定义且在 $x_0$ 处可导

若对于 $\forall x\in u(x_0)$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $f(x)\ge f(x_0)$），则 $f'(x_0)=0$

导数为 $0$ 的点称为 驻点（稳定点、临界点）。驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

证明过程

罗尔定理

若 $f(x)$ 满足以下条件：

• $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
• $f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导
• $f(a)=f(b)$

则至少 $\exist\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

若 $f(x)$ 满足以下条件：

• $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
• $f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导

则至少 $\exist\xi\in(a,b)$ 使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

引理：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续、可导，且导数恒为 $0$，则 $f(x)=c$，其中 $c$ 是常数

柯西中值定理

若 $f(x)$ 与 $F(x)$ 满足以下条件：

• $f(x)$ 与 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
• $f(x)$ 与 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 可导
• $\forall x\in(a,b)$ 有 $F'(X)\ne 0$

则至少 $\exist\xi\in(a,b)$ 使得 $\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

洛必达法则

若 $f(x)$ 与 $F(x)$ 满足以下条件：

• $x\rarr a$ 时，$f(x)\rarr 0$ 且 $F(x)\rarr 0$
• 在 $a$ 的去心邻域内 $f'(x)$ 与 $F'(x)$ 存在，且 $F'(x)\ne 0$
• ${\lim_{x\rarr a}\\}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在或为无穷大

则 ${\lim_{x\rarr a}\\}\dfrac{f(x)}{F(x)}={\lim_{x\rarr a}\\}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$。此外，$x\rarr \infin$ 时结论相同。

要注意，若 ${\lim_{x\rarr a}\\}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 不存在，则 ${\lim_{x\rarr a}\\}\dfrac{f(x)}{F(x)}$ 未知

证明过程

泰勒公式

若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上有 $n+1$ 阶导数，$x_0\in(a,b)$，则对于 $\forall x\in(a,b)$ 有：

$$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$

其中余项 $R_n(X)=o((X-X_0)^n)$。或者，也能写成 $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，其中 $\xi\in(x_0,x)$

取 $x_0=0$ 即得到麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\ldots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$，其中 $\theta\in(0,1)$

傅里叶级数

若有周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$，则其傅里叶级数为 $f(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+{\sum\limits_{n=1}^\infin}(a_n\cos\dfrac{n\pi x}{l}+b_n\sin\dfrac{n\pi x}{l})$

其中系数 $a_n$ 和 $b_n$ 为 $\begin{cases}a_n=\dfrac{1}{l}{\int_{-l}^l\\}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{l}dx\\b_n=\dfrac{1}{l}{\int_{-l}^l\\}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}d\end{cases}$

AM2.3 函数的单调性

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，且在区间 $(a,b)$ 内可导

• 若恒有 $f'(x)\ge 0$，且 $f'(x)=0$ 仅在有限个点上成立，则称其在区间内 单调递增
• 若恒有 $f'(x)\le 0$，且 $f'(x)=0$ 仅在有限个点上成立，则称其在区间内 单调递减

#函数的凹凸性

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内连续，且对于任意 $x_1,x_2\in(a,b)$ 有

$$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

则称其在区间 $(a,b)$ 中是 凸 的。反之称其为 凹 的。

可见若 $f(x)$ 是凸的，则 $-f(x)$ 是凹的

若函数 $f(x)$ 的二阶导数存在，则

• 若恒有 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 在区间内是凹的
• 若恒有 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 在区间内是凸的

若函数 $f(x)$ 经过点 $(x_0,f(x_0))$ 时改变了凹凸性，则称点 $(x_0,f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的一个 拐点。

若点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $f(x)$ 的拐点，则其 $f''(x_0)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在

#极值

（必要条件）若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取极值，则 $f'(x_0)=0$

（充分条件）若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 邻域 $U(x_0)$ 内可导，且

• $\forall x\in(x_0-\delta,x_0)$ 都有 $f'(x)>0$，且 $\forall x\in(x_0,x_0+\delta)$ 都有 $f'(x)<0$，则在 $x_0$ 处取到极大值
• $\forall x\in(x_0-\delta,x_0)$ 都有 $f'(x)<0$，且 $\forall x\in(x_0,x_0+\delta)$ 都有 $f'(x)>0$，则在 $x_0$ 处取到极小值
• 若 $\forall x\in U(x_0)$，$f'(x)$ 不变号，则 $x_0$ 不是极值

（充分条件）若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，有 $f'(x_0)=0$ 和 $f''(x_0)\ne 0$，且

• $f''(x_0)<0$，则在 $x_0$ 处取到极大值
• $f''(x_0)>0$，则在 $x_0$ 处取到极小值

#曲率

若曲线 $y$ 在点 $M$ 处切线与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$，在点 $M'=M+\Delta s$ 处切线与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha+\Delta\alpha$

则曲线在 $M$ 到 $M'$ 的平均曲率 $\overline{k}=\begin{vmatrix}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\end{vmatrix}$

曲线在 $M$ 处的曲率 $k={\lim_{\Delta s\rarr 0}\\}\begin{vmatrix}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\end{vmatrix}$

直角坐标系下，若曲线 $y=f(x)$ 且二阶导数存在，则曲率 $K=\begin{vmatrix}\dfrac{\begin{vmatrix}y''\end{vmatrix}}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2} } }\end{vmatrix}$

证明过程

直角坐标系下，若曲线为 $\begin{cases}y=y(t)\\x=x(t)\end{cases}$ 且二阶导数存在，则曲率 $K=\dfrac{\begin{vmatrix}x'y''-x''y'\end{vmatrix}}{[(x')^2+(y')^2]^{\frac{3}{2} } }$

证明过程