<高等数学>AM3 积分

AM3 积分

AM3.1 不定积分

若 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

原函数的 全体 称为 不定积分，记为 ${\int\\} f(x)\operatorname{dx}=F(x)+c$。其中 $f(x)$ 称为 被积函数，$\operatorname{dx}$ 称为 被积变量

可见不定积分的图像（几何含义）是一组平行的曲线族

原函数存在定理：连续函数一定有原函数。

不定积分的性质

• ${\int\\}[f(x)\pm g(x)]\operatorname{dx}=\int f(x)\operatorname{dx}\pm\int g(x)\operatorname{dx}$
• ${\int\\} kf(x)\operatorname{dx}=k\int f(x)\operatorname{dx}$，其中 $k$ 与 $x$ 无关

第一类换元积分法

若 $\int f(x)\operatorname{dx}=F(x)+c$

有 $F'(\phi(x))=f(\phi(x))\phi'(x)$

由于 $\operatorname{dy}=y'\operatorname{dx}$

故有 ${\int 1\operatorname{dF(\phi(x))}\\}=\int f(\phi(x))\phi'(x)\operatorname{dx}=\int f(\phi(x))\operatorname{d\phi(x)}=F(\phi(x))+c$

使用第一换元积分法可以得到一些结论：

• ${\int\\}\csc x\operatorname{dx}=\ln\big| \tan\dfrac{x}{2}\big| +c=\ln\big| \csc x-\cot x\big| +c$

  证明过程

• ${\int\\}\sec x\operatorname{dx}=\ln\big| \sec x+\tan x\big| +c$

第二类换元积分法

若 $x=\phi(t)$

有 $\operatorname{dx}=\operatorname{d\phi(t)}=\phi'(t)\operatorname{dt}$

则 ${\int\\}f(x)\operatorname{dx}=[{\int\\}f(\phi(t))\phi'(t)\operatorname{dt}]_{t=\phi^{-1}(x)}$

分部积分法

对于函数 $u,v$，有 $(uv)'=u'v+uv'$

则 $uv'=(uv)'-u'v$

于是有 ${\int\\}uv'\operatorname{dx}={\int\\}(uv)'\operatorname{dx}-{\int\\}u'v\operatorname{dx}=uv-{\int\\}u'v\operatorname{dx}$

即 ${\int\\}u\operatorname{dv}=uv-{\int\\}v\operatorname{du}$

积分表

被积函数	积分
$x^\mu$	${\int\\} x^\mu \operatorname{dx}=\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu +1}+c$
$k$	${\int\\} k\operatorname{dx}=kx+c$
$\dfrac{1}{x}$	${\int\\}\dfrac{1}{x}\operatorname{dx}=\ln\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}+c$
$a^x$	${\int\\} a^x\operatorname{dx}=\dfrac{a^x}{\ln a}+c$
$\tan x$	${\int\\}\tan x\operatorname{dx}=-\ln\begin{vmatrix}\cos x\end{vmatrix}+c$
$\cot x$	${\int\\}\cot x\operatorname{dx}=\ln\begin{vmatrix}\sin x\end{vmatrix}+c$
$\sec x$	${\int\\}\sec x\operatorname{dx}=\ln\begin{vmatrix}\sec x+\tan x\end{vmatrix}+c$
$\csc x$	${\int\\}\csc x\operatorname{dx}=\ln\begin{vmatrix}\csc x-\cot x\end{vmatrix}+c$
$\dfrac{1}{a^2+x^2}$	${\int\\}\dfrac{\operatorname{dx}}{a^2+x^2}=\dfrac 1a\arctan\dfrac xa+c$
$\dfrac 1{x^2-a^2}$	${\int\\}\dfrac{\operatorname{dx}}{x^2-a^2}=\dfrac 1{2a}\ln\begin{vmatrix}\dfrac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+c$
$\sqrt{a^2-x^2}$	${\int\\}\sqrt{a^2-x^2}\operatorname{dx}=\dfrac{a^2}2\arcsin\dfrac xa+\dfrac x2\sqrt{a^2-x^2}+c$
$\dfrac 1{\sqrt{x^2+a^2}}$	${\int\\}\dfrac{\operatorname{dx}}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(\sqrt{x^2+a^2}+x)+c$
$\dfrac 1{\sqrt{x^2-a^2}}$	${\int\\}\dfrac{\operatorname{dx}}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\begin{vmatrix}x+\sqrt{x^2-a^2}\end{vmatrix}+c$
$\ln x$	${\int\\}\ln x\operatorname{dx}=x\ln x-x+c$

……其余积分可参照 导数表

AM3.2 定积分

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 上任意插入若干分点，分成 $n$ 个长度为 $\Delta x_1,\Delta x_2\ldots,\Delta x_n$ 的区间。取 $\lambda =\max(\Delta x_1,\Delta x_2\ldots,\Delta x_n)$

$\xi_i$ 是区间 $i$ 内任意一点。若 ${\lim_{\lambda\rarr0}\\}{\sum_{i=1}^n\\}f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在，则称之为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的 定积分。记为 ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}$

其中 $f(x)$ 称为 被积函数，$f(x)\operatorname{dx}$ 称为 被积表达式，$x$ 称为 积分变量，$a$ 称为 积分下限，$b$ 称为 积分上限，$[a,b]$ 称为 积分区间

若定积分存在，则其为一具体数值。该值仅与被积函数、积分区间有关，与积分变量无关。

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 可积的充要条件是函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内有界，且仅有 有限个 间断点，则其可积。

定积分的性质

• ${\int^a_a\\}f(x)\operatorname{dx}=0$
• ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}=-{\int^a_b}f(x)\operatorname{dx}$
• ${\int^b_a\\}(\alpha f(x)+\beta g(x))\operatorname{dx}=\alpha{\int_a^b\\}f(x)\operatorname{dx}+\beta{\int^b_a\\}g(x)\operatorname{dx}$
• ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\int^c_a}f(x)\operatorname{dx}+{\int^b_c}f(x)\operatorname{dx}$

积分基本公式

若将积分上限视为变量，则函数 $\Phi(x)={\int^x_a\\}f(t)\operatorname{dt}$ 称为 积分上限函数

此时 $\Phi'(x)=\dfrac{\operatorname{d} }{\operatorname{dx} }{\int^x_a\\}f(t)\operatorname{dt}=f(x)$。换言之，$\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

有 ${\int^{\phi(x)}_{\psi(x)}\\}f(t)\operatorname{dt}=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$

牛顿 - 莱布尼兹公式：${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}=F(x){\bigg| ^b_a}=F(b)-F(a)$

换元法：若有 $\psi(t)=x$，此时 $\psi(\alpha)=a,\psi(\beta)=b$，则 ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\int^\beta_\alpha\\}f(\psi(t))\psi'(t)\operatorname{dt}$

若 $f(x)$ 是偶函数，则 ${\int^a_{-a}\\}f(x)\operatorname{dx}=2{\int^a_0\\}f(x)\operatorname{dx}$。若 $f(x)$ 是奇函数，则 ${\int^a_{-a}\\}f(x)\operatorname{dx}=0$

若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 连续，则有

• ${\int^{\frac{\pi}2}_0\\}f(\sin x)\operatorname{dx}={\int^{\frac{\pi}2}_0\\}f(\cos x)\operatorname{dx}$
• ${\int^\pi_0\\}xf(\sin x)\operatorname{dx}=\dfrac{\pi}2{\int^\pi_0\\}f(\sin x)\operatorname{dx}$

分部积分：${\int^a_b\\}u\operatorname{dv}=uv\bigg| ^a_b-{\int^a_b\\}v\operatorname{du}$

AM3.3 反常积分

反常积分：也称 广义积分。指含有无穷上/下限的积分（无穷限广义积分），或者被积函数含有瑕点的积分（瑕积分）

#无穷限反常积分

${\int^{+\infin}_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\lim_{t\rarr+\infin}\\}{\int^t_a\\}f(x)\operatorname{dx}$

${\int_{-\infin}^b\\}f(x)\operatorname{dx}={\lim_{t\rarr-\infin}\\}{\int^b_t\\}f(x)\operatorname{dx}$

若极限存在，称该积分 收敛。否则，称该积分 发散。

${\int_{-\infin}^{+\infin}\\}f(x)\operatorname{dx}={\int_{-\infin}^0\\}f(x)\operatorname{dx}+{\int_0^{+\infin}\\}f(x)\operatorname{dx}$

此时，仅当 ${\int_{-\infin}^0\\}f(x)\operatorname{dx}$ 和 ${\int_0^{+\infin}\\}f(x)\operatorname{dx}$ 均收敛，则该积分 收敛。否则该积分 发散

无穷限广义积分仍适用 牛顿 - 莱布尼兹公式。

#无界函数的反常积分

若 ${\lim_{x\rarr x_0\\}f(x)}\operatorname{dx}$ 不存在，则称 $x_0$ 为 瑕点

若 $b$ 为瑕点，则有 ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\lim_{t\rarr b^-}\\}{\int^t_a\\}f(x)\operatorname{dx}$

若 $a$ 为瑕点，则有 ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\lim_{t\rarr a^+}\\}{\int^b_t\\}f(x)\operatorname{dx}$

若极限存在，称该积分 收敛。否则，称该积分 发散。

若瑕点 $c\in(a,b)$，则有 ${\int^b_a\\}f(x)\operatorname{dx}={\lim_{t\rarr c^+}\\}{\int^b_t\\}f(x)\operatorname{dx}+{\lim_{t\rarr c^-}\\}{\int^t_a\\}f(x)\operatorname{dx}$

瑕积分仍适用 牛顿 - 莱布尼兹公式。

#伽马函数

$\Gamma(s)={\int^{+\infin}_0\\}e^{-x}x^{s-1}\operatorname{dx}\quad(s>0)$

伽马函数有以下性质：

• $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
• $\Gamma(n+1)=n!$

AM3.4 微分方程

含有函数及其导数的关系式称为微分方程。定义式为 $f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0$

若微分方程可转化为 $g(y)\operatorname{dy}=f(x)\operatorname{dx}$ 则称其为 可分离变量。此时只需求积分即可得到 $y$ 的表达式。

若微分方程是 $\dfrac{y}x$ 的函数，即能转化为 $\dfrac{\operatorname{dy} }{\operatorname{dx} }=\psi(\dfrac{y}{x})$ 的形式，则称其为 齐次方程。

若微分方程能转化为 $\dfrac{\operatorname{dy} }{\operatorname{dx} }+P(x)y=Q(x)$ 的形式，则其称为 一阶线性微分方程。此时有 $y=e^{-\int P(x)\operatorname{dx} }(\int Q(x)e^{\int P(x)\operatorname{dx}}\operatorname{dx}+c)$

证明过程

若微分方程能转化为 $\dfrac{\operatorname{dy} }{\operatorname{dx} }+P(x)y=Q(x)y^n$ 的形式，则其称为 伯努利方程。可见 $n=0$ 时即为一阶线性微分方程，而 $n=1$ 时为可分离变量。使 $z=y^{1-n}$ 可得到 $\dfrac{\operatorname{dz} }{\operatorname{dx} }+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$，即可适用一阶线性微分方程的结论。

若微分方程能转化为 $y''+py'+qy=0$ 的形式，则其为 二阶常系数线性齐次微分方程。使 $\Delta=p^2-4q$，$r_1,r_2$ 是方程 $r^2+pr+q=0$ 的根，则：

• $\Delta>0$ 时，$r_1=\dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}2,\ r_1=\dfrac{-p-\sqrt{p^2-4q}}2$

  此时 $y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$

• $\Delta=0$ 时，$r=-\dfrac{p}2$

  此时 $y=(c_1+c_2x)e^{rx}$

• $\Delta<0$ 时，$r_1=\alpha+\beta i,\ r_2=\alpha-\beta i$

  此时 $y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$