<高等数学>AM4 向量代数与空间解析几何

AM4 向量代数与空间解析几何

AM4.1 向量

具有大小和方向的称为 向量，可记为 $a,\ \overrightarrow{a}$

两个向量大小相等、方向相同，则认为两个向量相等。换言之，相等的向量经过平移后能够重合。

向量的大小称为 模（长度、大小），记为 $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a}\end{vmatrix}$

长度为 1 的向量称为 单位向量。长度为零的向量称为 e向量。零向量的方向是任意。

向量的夹角范围为 $[0,\pi ]$。零向量与其他向量的夹角为任意值。夹角为 $0$ 或 $\pi$ 的向量称为 平行（共线），记为 $a\parallel b$

在三维空间直角坐标系中，沿三个坐标轴正方向分别取单位向量 $i,j,k$，则任意向量可表示为 $r=xi+yj+zk$。称 $(x,y,z)$ 为该向量的 坐标。向量的模 $\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

对于向量 $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ 与 $x,y,z$ 坐标轴的夹角 $\alpha,\beta,\gamma$ 有 $\cos\alpha=\dfrac{x}{\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} },\ \cos\beta=\dfrac{y}{\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} },\ \cos\gamma=\dfrac{z}{\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} }$。

则新向量 $e_r=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\dfrac{1}{\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} }(x,y,z)=\dfrac{1}{\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} }r$ 称为 $r$ 的 方向余弦。显然 $e_r$ 是与 $r$ 同向的单位向量。

向量 $r$ 在坐标轴 $u$ 上的投影记为 $Prj_ur=\begin{vmatrix} r\end{vmatrix} \cos\psi$。如 $x$ 轴的投影记为 $Prj_xr$。

#数量积

对于两个向量 $a,b$，其 数量积 $a\bull b=\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} \begin{vmatrix} b\end{vmatrix} \cos\theta=\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} Prj_ab=\begin{vmatrix} b\end{vmatrix} Prj_ba$

数量积有以下性质：

• $a\bull a=\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} ^2$
• $a\bull b=0\Harr a\perp b$
• $a\bull b=b\bull a$
• $(a+b)\bull c=a\bull c+b\bull c$

若向量 $a,b$ 的坐标为 $(a_x,a_y,a_z)$ 和 $(b_x,b_y,b_z)$，则其数量积 $a\bull b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

可见，此时 $\cos\theta=\dfrac{a\bull b}{\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} \begin{vmatrix} b\end{vmatrix} }=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

#向量积

对于两个向量 $a,b$，其 向量积 $c=a\times b$。其中 $\begin{vmatrix} c\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} \begin{vmatrix} b\end{vmatrix} \sin\theta$，$c$ 的方向遵循右手准则。

向量积有如下性质：

• $a\times a=0$
• $a\times b=0\Harr a\parallel b$
• $a\times b=-b\times a$
• $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

若向量 $a,b$ 的坐标为 $(a_x,a_y,a_z)$ 和 $(b_x,b_y,b_z)$，则其向量积为 $\begin{bmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{bmatrix}$ 的展开式。

即 $c=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$

AM4.2 平面

动线在空间中运动形成的轨迹称为曲面，曲面可记为 $F(x,y,z)=0$。空间中两个曲面的交集称为曲线。

和平面垂直的向量称为 法线向量。

只要确定平面上的任意一点的坐标及法线向量，就能确定一个平面。

确切的说，若有点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法线向量 $n=(A,B,C)$，则平面上任意一点 $M(x,y,z)$ 与 $M_0$ 确定的向量 $\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 都与 $n$ 垂直，即 $n\bull\overrightarrow{M_0M}=0$。

由此得到了平面的 点法式方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

令 $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$ 则得到平面方程的 一般方程 $Ax+By+Cz+D=0$

平面间的夹角

两平面的法线向量的夹角称为该两平面的 夹角。

若法线向量为 $n_1=(A_1,B_1,C_1),n_2=(A_2,B_2,C_2)$，则夹角 $\theta=(\overset{\frown}{n_1,n_2})\in[0,\frac\pi2]$

显然有 $\cos\theta=\dfrac{\begin{vmatrix} A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\end{vmatrix} }{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

两平面垂直时，必有 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

两平面平行或重合时，必有 $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$

点到平面的距离

若有任意一点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$，则其到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的 距离 为 $d=\dfrac{\begin{vmatrix} Ax_0+By_0+Cz_0+D\end{vmatrix} }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

证明过程

AM4.3 空间直线

两个（不平行的）平面可以确认一条直线。直线的 一般方程 为 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$

由一方向向量 $S=(m,n,p)$ 和一点 $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ 也能确认一条直线。其 对称式方程 为 $\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$。其中 $m,n,p$ 称为方向数。

若令 $t=\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$，则能写成 参数方程 形式 $\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$

两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角为该两直线的夹角。

若方向向量为 $n_1=(m_1,n_1,p_1),n_2=(m_2,n_2,p_2)$，则夹角 $\phi=(\overset{\frown}{n_1,n_2})\in[0,\frac\pi2]$

可见有 $\cos\phi=\dfrac{\begin{vmatrix} m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\end{vmatrix} }{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

若两直线垂直则有 $m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$

若两直线平行则有 $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{p_1}{p_2}$

直线与平面的夹角

直线与该直线在平面上的投影的夹角为直线与平面的夹角。有 $\varphi\in[0\frac\pi2]$

显然 $\varphi$ 与 直线与平面法线向量的夹角 互余

可见 $\sin\varphi=\dfrac{\begin{vmatrix} Am+Bn+Cp\end{vmatrix} }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

若直线与平面垂直，则有 $\dfrac{A}{m}=\dfrac{B}{n}=\dfrac{C}{p}$

若直线与平面平行，则有 $Am+Bn+Cp=0$

平面束

相交于一直线的所有平面称为一组平面束。

若直线为 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$，则平面束可表示为 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$

AM4.4 曲面

曲面的 一般方程 为 $F(x,y,z)=0$

一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面称为 旋转曲面。该固定直线称为 轴，旋转曲线称为 母线

下面是一些特殊的旋转曲面公式：

• 若母线 $\Gamma$ 为 $yoz$ 平面上的曲线 $F(y,z)=0$

  旋转轴为 $z$ 轴时，旋转曲面为 $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

  旋转轴为 $y$ 轴时，旋转曲面为 $F(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0$

  证明过程

• 若母线 $\Gamma$ 为 $xoy$ 平面上的曲线 $F(x,y)=0$

  旋转轴为 $x$ 轴时，旋转曲面为 $F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$

  旋转轴为 $y$ 轴时，旋转曲面为 $F(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0$

• 若母线 $\Gamma$ 为 $xoz$ 平面上的曲线 $F(x,z)=0$

  旋转轴为 $x$ 轴时，旋转曲面为 $F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$

  旋转轴为 $z$ 轴时，旋转曲面为 $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

若曲面表达式 $F(x,y,z)$ 为三元二次函数，则称该曲面为 二次曲面。

对于空间曲面 $F(x,y,z)=0$，其在点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ 处的 切平面 为 $F'_x(x_0,\ y_0,\ z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,\ y_0,\ z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,\ y_0,\ z_0)(z-z_0)=0$

其在该点的法线为 $\dfrac{x-x_0}{F'_x(x_0,\ y_0,\ z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F'_y(x_0,\ y_0,\ z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F'_z(x_0,\ y_0,\ z_0)}$

上面的 $F'_x(x_0,\ y_0,\ z_0)$ 表示 $F(x,\ y,\ z)$ 在点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ 处对 $x$ 的偏导数。

——偏导数见 [AM5.2 偏导数]

AM4.5 空间曲线

曲线是空间中两个曲面的交集。曲线的 一般方程 为 $\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}$

也能使用 参数方程 描述空间曲线 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$

将空间曲线的一般方程联立消元，即可得到空间曲线在坐标面上的投影。如，若 $\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}$ 消去 $z$ 得到 $H(x,y)=0$，则该曲线在 $xoy$ 平面上的投影为 $\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$

对于空间曲线 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$，其在点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ 处的 切向量 $T=(\varphi'(t),\ \psi'(t),\omega'(t))$，则其在该处的切线方程为：$\dfrac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$

过点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ 且与切线垂直的平面称为 法平面，其方程为：$\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$