<高等数学>AM5 多元函数

AM5 多元函数

AM5.1 平面点集

平面上点的集合称为 平面点集。平面点集可表示为 $E=\{(x,y)|x\ 和\ y\ 的性质\}$

平面上所有点的集合为 $R^2=R\times R=\{(x,y)|x,y\in R\}$

距某一点 $P_0$ 的距离小于指定半径的点的集合称为其 邻域，记为 $U(P_0,\delta)=\{P||PP_0|<\delta\}$。

点 $P_0$ 的 去心邻域 记为 $\overset{\circ}U(P_0,\delta)=\{P|0<|PP_0|<\delta\}$

对于平面点集 $E$，平面中任取一点 $P_0$

• 若存在邻域 $U(P_0)\subseteq E$，则称 $P_0$ 为 $E$ 的 内点。

• 若存在邻域 $U(P_0)\cap E=\empty$ 则称 $P_0$ 为 $E$ 的 外点。

• 若 $P_0$ 的任意邻域总有 $U(P_0)\cap E\not=\empty$ 且 $U(P_0)\not\subseteq E$，则称 $P_0$ 为 $E$ 的 边界点。

  所有边界点的集合称为 $E$ 的 边界，记为 \partialial E

  顺便一提，这个 \partialial 符号（\partialial）我找了好久才找到！希望数学家写符号的时候能做个人！

• 任取 $\delta>0$，若总有 $\overset{\circ}U(P_0,\delta)\cap E\not=\empty$，则称 $P_0$ 为 $E$ 的 聚点。聚点包括内点和边界点。

若平面点集 $E$ 内的所有点都是其内点，则称 $E$ 为 开集。若平面点集 $E$ 包含其所有边界点，则称 $E$ 为 闭集。

若平面点集 $E$ 内的任意两点可用折线连接，且该折线上的点都在 $E$ 内，则称 $E$ 为 连通集。否则称 $E$ 为 非连通集。

连通的开集称为 区域（开区域）。若区域包含其所有的边界点，则称之为 闭区域。

# n 维空间

对于 $R^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)|x_i\in R,\ i=1,2,\ldots,n\}$ 称为 n 维空间。其中 $x_i$ 称为 分量。

n 维空间中的向量加法为 $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n)$

n 维空间中的向量数乘为 $\lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\ldots,\lambda x_n)$

n 维空间中两点的距离为 $||x-y||=\rho(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}$，若 $\rho(x,a)\rarr 0$ 则称 $x$ 向 $a$ 逼近，记为 $x\rarr a$

n 维空间中向量的长度为 $||x||=\rho(x,0)$

n 维空间中点的邻域 $U(a,\delta)=\{x|x\in R^n,\ \rho(x,a)<\delta\}$

# 多元函数的极限

一元极限：若 $x\rarr x_0$ 时，$f(x)\rarr a$，则 ${\lim_{x\rarr x_0}\\}f(x)=a$。$x\rarr x_0$ 的逼近方式有 $x\rarr x_0^+$ 和 $x\rarr x_0^-$

二元极限：若 $(x,y)\rarr (x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)\rarr a$，则 ${\lim_{(x,y)\rarr (x_0,y_0)}\\}f(x,y)=a$。$(x,y)\rarr (x_0,y_0)$ 的逼近方式有无数种。

AM5.2 偏导数

对于 $z=f(x,y)$，把 $y$ 固定为 $y_0$，而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x\rarr 0$ 时，其增量 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,\ y_0)-f(x_0,\ y_0)$ 称为 偏增量。

称 ${\lim_{\Delta x\rarr 0}\\}\dfrac{f(x_0+\Delta x,\ y_0)-f(x_0,\ y_0)}{\Delta x}$ 为函数 $z=f(x,y)$ 对 $x$ 的 偏导数。

函数 $z=f(x,y)$ 对 $x$ 的偏导数有四种表示方法：$\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{\overset{x}{y}\overset{=}{=}\overset{x_0}{y_0}}\quad\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{\overset{x}{y}\overset{=}{=}\overset{x_0}{y_0}}\quad z'_{x}\quad f'_x(x_0,\ y_0)$

$\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{\overset{x}{y}\overset{=}{=}\overset{x_0}{y_0}}$

同样的，把 $x$ 固定为 $x_0$，而 $y$ 在 $y_0$ 处有增量 $\Delta y\rarr 0$ 时，称 ${\lim_{\Delta y\rarr 0}\\}\dfrac{f(x_0,\ y_0+\Delta y)-f(x_0,\ y_0)}{\Delta x}$ 为函数 $z=f(x,y)$ 对 $y$ 的偏导数。

若 $z=f(x,\ y)$ 对 $x$ 的偏导数存在，则 $z=f(x,\ y_0)$ 曲线在 $(x_0,\ y_0)$ 处连续。同样的，若 $z=f(x,\ y)$ 对 $y$ 的偏导数存在，则 $z=f(x_0,\ y)$ 曲线在 $(x_0,\ y_0)$ 处连续。但曲面 $z=f(x,\ y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处不一定连续。

AM5.3 全微分

对于 $z=f(x,y)$，$x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x\rarr 0$，且 $y$ 在 $y_0$ 处有增量 $\Delta y\rarr 0$ 时，其增量 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)-f(x_0,\ y_0)$ 称为 全增量。

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,\ y)$ 的邻域内有定义，产生增量 $\Delta x,\ \Delta y$。若 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，其中 $A,\ B$ 是 $x,\ y$ 的函数且与 $\Delta x,\ \Delta y$ 无关，而 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则 $\operatorname{dz}=A\Delta x+B\Delta y$ 记为 $z$ 的 全微分。

可见，$\operatorname{dz}$ 是函数改变的近似值。

• 可微的必要条件

  若 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 处可微，则偏导数 $f'_x(x,\ y)$ 与 $f'_y(x,\ y)$ 存在，且

  $\operatorname{dz}=f'_x(x,\ y)\Delta x+f'_y(x,\ y)\Delta y$

  证明过程

  偏导数存在是可微的必要条件。

• 可微的充分条件

  若 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 的某邻域内有连续的偏导数 $f'_x(x,\ y)$ 和 $f'_y(x,\ y)$，则其在该处可微

记 $\operatorname{dx}=\Delta x$ 和 $\operatorname{dy}=\Delta y$，此时 $\operatorname{d_x{z}}=f'_x(x,\ y)\operatorname{dx}$ 称为关于 $x$ 的偏微分，$\operatorname{d_y{z}}=f'_x(x,\ y)\operatorname{dy}$ 为关于 $y$ 的偏微分。$\operatorname{dz}=\operatorname{d_x{z}}+\operatorname{d_y{z}}$

AM5.4 多元复合函数求导

若有 $z=f(u,\ v)\quad u=\varphi(t)\quad v=\psi(t)$，则 $\dfrac{\operatorname{dz}}{\operatorname{dt}}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\operatorname{du}}{\operatorname{dt}}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\operatorname{dz}}{\operatorname{dt}}$

若有 $z=f(u,\ v)\quad u=\varphi(x,\ y)\quad v=\psi(x,\ y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$

若有 $z=f(u,\ v,\ w)\quad u=\varphi(x,\ y)\quad v=\psi(x,\ y)\quad w=\omega(x,\ y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial w}\dfrac{\partial w}{\partial x}$

若有 $z=f(u,\ v)\quad u=\varphi(x,\ y)\quad v=\psi(y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial x}$，此外 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{d v}{d y}$

若有 $z=f(u,\ x,\ y)\quad u=\varphi(x,\ y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial x}$

# 隐函数求导

单个方程

若有 $F(x,\ y)=0\quad F'_y(x,\ y)\not=0$，且 $y=\psi(x)$，则 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$

若有 $F(x,\ y,\ z)=0\quad F'_z\not=0$，且 $z=\varphi(x,\ y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F'_x}{F'_z}$

方程组

若有方程组 $\begin{cases}F(x,\ y,\ u,\ v)=0\\G(x,\ y,\ u,\ v)=0\end{cases}$，且 $J=\dfrac{\partial(F,\ G)}{\partial(u,\ v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial F}{\partial u}&\dfrac{\partial F}{\partial v}\\\dfrac{\partial G}{\partial u}&\dfrac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}\not=0$

则：$\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{\partial(F,\ G)}{\partial(x,\ v)}=-\dfrac{\begin{vmatrix}F'_x&F'_v\\G'_x&G'_v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F'_u&F'_v\\G'_u&G'_v\end{vmatrix}}$

AM5.5 方向导数

设函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $P_0=(x_0,\ y_0)$ 的某邻域内有定义，自点 $P_0$ 引射线 $l$，自 $x$ 轴正向到 $l$ 的转角为 $\varphi$，则 ${\lim_{t\rarr 0^+}\\}\dfrac{f(x_0+t\cos\varphi,\ y_0+t\sin\varphi)-f(x_0,\ y_0)}{t}$ 称为 $f(x,\ y)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的 方向导数，记为 $\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0,\ y_0)}$。

若 $f(x,\ y)$ 在 $(x_0,\ y_0)$ 处可微，则方向导数存在，且 $\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0,\ y_0)}=f'_x(x_0,\ y_0)\cos\varphi+f'_y(x_0,\ y_0)\sin\varphi$。

注意 $\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0,\ y_0)}$ 存在时，$f'_x(x_0,\ y_0)$ 不一定存在

记向量 $(f'_x(x_0,\ y_0),\ f'_y(x_0,\ y_0))=\operatorname{grad}f(x_0,\ y_0)=\nabla f(x_0,\ y_0)$ 为 $f(x,\ y)$ 在点 $P_0$ 的 梯度

有 $\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0,\ y_0)}=\nabla f(x_0,\ y_0)\bull(\cos\varphi,\ \sin\varphi)=\nabla f(x_0,\ y_0)\bull e_l=\left|\nabla f(x_0,\ y_0)\right|\left| e_l\right|\cos\theta=\left|\nabla f(x_0,\ y_0)\right|\cos\theta$

特别地，$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$\dfrac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0,\ y_0)}=0$，此时有 \cases{z=c\\z=f(x,\ y)} 称为 等值线

梯度向量的单位向量 $\dfrac{\nabla f(x_0,\ y_0)}{\sqrt{[f'_x(x_0,\ y_0)]^2+[f'_y(x_0,\ y_0)]^2}}$ 称为该点的 单位法向量。

梯度方向即等值线在该点的法线方向，梯度的模即沿该法线方向的方向导数。

AM5.6 多元函数的极值

若 $z=f(x,\ y)$ 在 $(x_0,\ y_0)$ 处取极值，且该点偏导数存在，则有 $f'_x(x_0,\ y_0)=0\quad f'_y(x_0,\ y_0)=0$

若 $z=f(x,\ y)$ 在 $(x_0,\ y_0)$​ 处偏导数存在，且 $f'_x(x_0,\ y_0)=0\quad f'_y(x_0,\ y_0)=0$，则该点称为 驻点

可见，偏导数存在的函数的极值点必然是驻点。但，驻点不一定是函数的极值点。

若驻点 $(x_0,\ y_0)$ 处有 $A=f''_{xx}(x_0,\ y_0)\quad B=f''_{xy}(x_0,\ y_0)\quad C=f''_{yy}(x_0,\ y_0)$，则：

• 若 $AC-B^2>0$，则该驻点是极值点。

  此时若 $A>0$（必有 $C>0$）则取极小值，若 $A<0$（必有 $C<0$）则取极大值。

• 若 $AC-B^2<0$，则该驻点不是极值点。

• 若 $AC-B^2=0$，则无法判断。

若空间中每个点 $M_0$ 都对应一个数值 $f(M_0)$，则称函数 $f(M)$ 为空间的一个 数量场

由数量场 $P(M),\ Q(M),\ R(M)$ 构成的向量 $F(M)=(P(M),\ Q(M),\ R(M))$ 称为空间的一个 向量场

多元函数的最值点可能是三种情况之一：驻点、偏导不存在的点、端点

方程 $z=f(x,\ y)$ 在 $\varphi(x,\ y)=0$ 时取到的极值称为其 条件极值，此时 $\varphi(x,\ y)=0$ 为其 条件。

拉格朗日乘数法

对于方程 $z=f(x,\ y)$ 和条件函数 $\varphi(x,\ y)=0$，构造辅助函数 $L(x,\ y)=f(x,\ y)+\lambda\varphi(x,\ y)$

求出 \cases{L'_x=0\\L'_y=0} 即解得其条件极值。