<高等数学>AM6 重积分

AM6 重积分

AM6.1 二重积分

设 $f(x,\ y)$ 是区域 $D$ 上的有界函数，将区域 $D$ 任意分为 $n$ 个区域 $\Delta\sigma_1,\ldots, \Delta\sigma_n$，所有区域中直径的最大值记为 $\lambda$。在每个 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\ \eta_i)$，若 ${\lim_{\lambda\rarr 0}\\}{\sum^n_{i=1}\\}\Delta\sigma_i f(\xi_i,\ \eta_i)$ 存在，则称之为 $f(x,\ y)$ 的 二重积分，记为 ${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma$

可见，${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma ={\int\limits^b_a}[{\color{Orange} {\int\limits_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}}f(x,\ y)dy} ]\ dx ={\int\limits^b_a}dx{\int\limits_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}}f(x,\ y)dy$

二重积分有如下性质

• ${\iint\limits_D\\}[\alpha f(x,\ y)+\beta g(x,\ y)]d\sigma=\alpha {\iint\limits_D}f(x,\ y)d\sigma+\beta {\iint\limits_D}g(x,\ y)d\sigma$
• 若有 $D_1\cap D_2=\empty$ 且 $D=D_1\cup D_2$，则 ${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma={\iint\limits_{D_1}\\}f(x,\ y)d\sigma+{\iint\limits_{D_2}\\}f(x,\ y)d\sigma$
• 若 $f(x,\ y)\equiv 1$，则 ${\iint\limits_D\\}1d\sigma=\sigma\times 1=\sigma$
• 若 $f(x,\ y)\le g(x,\ y)$，则 ${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma\le {\iint\limits_D}g(x,\ y)d\sigma$
• $\left|{\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma\right|\le{\iint\limits_D}\left|f(x,\ y)\right|d\sigma$
• 若 $M,\ m$ 是 $f(x,\ y)$ 的最大值和最小值，则 $m\sigma\le{\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma\le M\sigma$

# 极坐标二重积分

极坐标与直角坐标的转换为 $\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}$

极坐标的二重积分公式为 ${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)d\sigma={\iint\limits_D}f(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta)\ {\color{Orange}\rho}\ d\rho\ d\theta$

# 二重积分换元法

若有 $\begin{cases}x=x(u,\ v)\\ y=y(u,\ v)\end{cases}$，原积分区域为 $D$，以 $u,\ v$ 为坐标的积分区域为 $D'$

有以下定理

• $x(u,\ v)$ 和 $y(u,\ v)$ 存在一阶偏导
• $J(u,\ v) =\dfrac{\partial(x,\ y)}{\partial(u, v)} =\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\not=0$
• 若 $D'$ 与 $D$ 的点一一对应，则 ${\iint\limits_D\\}f(x,\ y)\ dx\ dy ={\iint\limits_D}f[x(u,\ v),\ y(u,\ v)]\ {\color{Orange}\left|J(u,\ v)\right|}\ du\ dv$

AM6.2 三重积分

# 三重积分球面坐标

若有点 $P=(x,\ y,\ z)$，向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $xoy$ 平面的夹角为 $\theta$，$\overrightarrow{OP}$ 与 $z$ 轴的夹角为 $\varphi$

则可以将坐标转化为球面形式：$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases}$

可见，$r$ 是素数时为一球面，$\varphi$ 是素数时为一圆锥面，$\theta$ 是素数是为一半平面

有 ${\iiint\limits_V\\}f(x,\ y,\ z)dx\ dy\ dz={\iiint\limits_V\\}g(r,\ \theta,\ \varphi){\color{Orange}r^2\sin\varphi}\ dr\ d\varphi\ d\theta$

# 三维空间曲面面积

对于三维空间中的曲面 $z=f(x,\ y)$，其面积为 ${\iint\limits_D\\}\sqrt{1+(f'_x)^2+(f'_y)^2}\ d\sigma$

证明过程

# 质心位置

若密度公式为 $\mu(x,\ y)$，则质心位置 $(\overline{x},\ \overline{y})$ 为

$\overline{x}=\dfrac{\iint\limits_Dx\mu(x,\ y)d\sigma}{\iint\limits_D\mu(x,\ y)d\sigma}$，以及 $\overline{y}=\dfrac{\iint\limits_Dy\mu(x,\ y)d\sigma}{\iint\limits_D\mu(x,\ y)d\sigma}$

密度均匀时，$\mu(x,\ y)=\mu$ 为常数。此时 $\overline{x}=\dfrac{1}{A}{\iint\limits_D\\}x\ d\sigma$，$\overline{y}=\dfrac{1}{A}{\iint\limits_D\\}y\ d\sigma$

AM6.3 曲线积分

# 第一类曲线积分

若曲线 $L$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，且满足 $(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2\not=0$

则 ${\int_L\\}f(x,\ y)\ ds={\int_{\alpha}^{\beta}\\}f(\phi(t),\ \psi(t))\ {\color{Orange}\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2}}\ dt$

三维情况下同理有 ${\int_\Gamma\\}f(x,\ y,\ z)\ ds={\int_{\alpha}^{\beta}\\}f(\phi(t),\ \psi(t),\ \varphi(t))\ {\color{Orange}\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2+(\varphi'(t))^2}}\ dt$

# 第二类曲线积分

若 $\lim\limits_{\lambda\rarr0}\sum\limits^n_{i=1}P(\xi_i,\ \eta_i)\ \Delta x_i$ 存在，则

函数 $P(x,\ y)$ 在有向有限曲弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的积分 ${\int_L\\}P(x,\ y)\ dx=\lim\limits_{\lambda\rarr0}\sum\limits^n_{i=1}P(\xi_i,\ \eta_i)\ \Delta x_i$

三维情况下同理有 ${\int_\Gamma\\}P(x,\ y,\ z)\ dx=\lim\limits_{\lambda\rarr0}\sum\limits^n_{i=1}P(\xi_i,\ \eta_i,\ \zeta_i)\ \Delta x_i$

又可以改写为 ${\int_L\\}P(x,\ y)\ dx+{\int_L\\}Q(x,\ y)\ dy={\int_L\\}P(x,\ y)\ dx+Q(x,\ y)\ dy={\int_L\\}F(x,\ y)\bull dr$

有如下性质

• ${\int_L\\}(\alpha F_1(x,\ y)+\beta F_2(x,\ y))\bull dr=\alpha{\int_L\\}F_1(x,\ y)\bull dr+\beta{\int_L\\}F_2(x,\ y)\bull dr$
• 若 $L=L_1+L_2$，则 ${\int_L\\}F(x,\ y)\bull dr={\int_{L_1}\\}F(x,\ y)\bull dr+{\int_{L_2}\\}F(x,\ y)\bull dr$
• 若 $L^-$ 是 $L$ 的反向弧，则 ${\int_L\\}F(x,\ y)\bull dr=-{\int_{L^-}\\}F(x,\ y)\bull dr$

若 $\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，则 ${\int_L\\}P(x,\ y)\ dx+Q(x,\ y)\ dy={\int_\alpha^\beta\\}[P(\phi(t),\ \psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\ \psi(t))\psi'(t)]\ dt$