<高等数学>AM7 无穷级数

AM7 无穷级数

若有数列 $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$，则其总和 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 称为 无穷级数，其中 $u_n$ 称为 一般项。其前 $n$ 项之和 $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$ 称为 部分和。

若 $\lim\limits_{n\rarr\infin}S_n=S$（$S$ 为常数），则称之 收敛的。否则，称之为 发散的。

若无穷级数收敛，则 $r_n=S-S_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots$ 称为 余项。

# 无穷级数的性质

• 若 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛于 $S$，则 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}ku_n$ 收敛于 $kS$
• 若 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛于 $S$，若 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$ 收敛于 $\sigma$，则 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n\pm v_n$ 收敛于 $S\pm\sigma$
• 无穷级数去掉、加上或改变有限项，其敛散性不变
• 收敛无穷级数中任意加括号，得到的新无穷级数仍收敛，且和不变
• 收敛的必要条件：$\lim\limits_{n\rarr \infin}u_n\rarr0$

# 等比级数

对于 等比级数（几何级数）$a+aq+aq^2+aq^3+\ldots+aq^{n-1}+\ldots$

若 $\left|q\right|\not=1$，则 $S_n=\dfrac{a(1-q^n)}{1-q}$

当 $\left|q\right|<1$ 时收敛，$\lim\limits_{n\rarr\infin}S_n=\dfrac{a}{1-q}$

当 $\left|q\right|\ge1$ 时发散，$\lim\limits_{n\rarr\infin}S_n$ 为无穷或不存在

# 调和级数

对于 调和级数 $1+\dfrac{1}2+\dfrac{1}3+\ldots+\dfrac{1}n+\ldots$

由于 $S_{2n}=S_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\ldots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}2\not\rarr 0$

可见，调和级数是发散的。

AM7.1 正项级数

若对于任意 $u_n$ 有 $u_n\ge0$，则 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 称为 正项级数。可见正项级数必有 $S_1\le S_2\le S_3\ldots$，数列 $\{S_n\}$ 是非递减的

# P-级数

对于 p-级数 $1+\dfrac{1}{2^p}+\dfrac{1}{3^p}+\ldots+\dfrac{1}{n^p}+\ldots$

若 $p\le1$ 则 p-级数 发散。可见，调和级数 是 p-级数 在 $p=1$ 时的特例。

若 $p>1$ 则 p-级数 收敛

# 正项级数定理

• 正项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛的 充要条件 是 $\{S_n\}$ 有界

• 比较审敛法

  若有正项级数 $\color{Orange}{\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 以及 $\color{cadetblue}{\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$，且 ${\color{Orange}u_n}\le {\color{cadetblue}v_n}$

  若 $\color{Orange}{\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 发散，则 $\color{cadetblue}{\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$ 发散

  若 $\color{cadetblue}{\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$ 收敛，则 $\color{Orange}{\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛

  此外，记 $\lim\limits_{n\rarr\infin}\dfrac{\color{Orange}u_n}{\color{cadetblue}v_n}=l$

  若 $0\le l<+\infin$，且 $\color{cadetblue}{\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$ 收敛，则 $\color{Orange}{\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛

  若 $l>0$ 或 $l=+\infin$，且 $\color{cadetblue}{\sum\limits_{n=1}^\infin}v_n$ 发散，则 $\color{Orange}{\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 发散

• 比值审敛法

  若有正项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$，记 $\lim\limits_{n\rarr\infin}\dfrac{u_{n+1}}{n_n}=\rho$

  若 $\rho<1$ 则收敛。若 $\rho>1$ 则发散。$\rho=1$ 时本方法无法判断。

• 根值审敛法（柯西判别法）

  若有正项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$，记 $\lim\limits_{n\rarr\infin}\sqrt[n]{u_n}=\rho$

  若 $\rho<1$ 则收敛。若 $\rho>1$ 则发散。$\rho=1$ 时本方法无法判断。

AM7.2 交错级数

若对于任意 $u_n$ 有 $u_n\ge0$，则 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}(-1)^{n-1}u_n$ 或 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}(-1)^{n}u_n$ 称为 交错级数。

# 交错级数定理

• 莱布尼茨定理

  若交错级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}(-1)^{n-1}u_n$ 满足 $u_n\ge u_{n+1}$ 且 $\lim\limits_{n\rarr\infin}u_n=0$，则该交错级数收敛。

  此时，$S_n\le u_1$，且 $\left|r_n\right|\le u_{n+1}$

  证明过程

AM7.3 任意项级数

若 $u_n$ 的正负是任意的，则称 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 为 任意项级数。

称 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}\left|u_n\right|$ 为 绝对值级数。可见，绝对值级数是一个正项级数

任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 收敛时：

• 若绝对值级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}\left|u_n\right|$ 也收敛，则称任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 为 绝对收敛。
• 若绝对值级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}\left|u_n\right|$ 发散，则称任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 为 条件收敛。

# 任意项级数定理

• 若绝对值级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}\left|u_n\right|$ 收敛，则任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 必定收敛

  证明过程

• 若有任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$，记 $\lim\limits_{n\rarr+\infin}\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=l$

  当 $l<1$ 时，任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 绝对收敛

  当 $l>1$ 或 $l=+\infin$ 时，任意项级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n$ 发散

AM7.4 幂级数

若 $u_n(x)$ 是关于 $x$ 的函数，则 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n(x)$ 称为 函数项无穷级数，其中 $x$ 在区间 $I$ 上。

其中，若 $u_n(x)=a_nx^n$，则称 ${\sum\limits_{\color{Orange}n=0}^\infin}a_nx^n$ 为 幂级数

若有 $x_0\in I$，且 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为 收敛点。若 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n(x_0)$ 发散，则称 $x_0$ 为 发散点。收敛点的全集称为 收敛域，发散点的全集称为 发散域。

另外，称 $S(x)=u_1(x)+u_2(x)+\ldots+u_n(x)+\ldots$ 为 和函数，称 $r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为 余项

若存在 $r$，使得使得在 $\left|x-a\right|<r$ 时幂级数收敛，在 $\left|x-a\right|>r$ 时幂级数发散，则称 $r$ 为幂级数 ${\sum\limits_{n=1}^\infin}u_n(x)$ 的 收敛半径

# 幂函数定理

• 阿贝尔定理

  对于幂函数 ${\sum\limits_{n=0}^\infin}a_nx^n$

  若 $x_0$ 为收敛点，则对于任意 $\left|x\right|<\left|x_0\right|$，幂函数绝对收敛

  若 $x_0$ 为发散点，则对于任意 $\left|x\right|>\left|x_0\right|$，幂函数发散

• 确定收敛区间

  对于幂函数 ${\sum\limits_{n=0}^\infin}a_nx^n$，记 $\lim\limits_{n\rarr+\infin}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$

  若 $\rho\not=0$，则收敛半径 $r=\dfrac1\rho$

  若 $\rho=0$，则收敛半径 $r=+\infin$

  若 $\rho=\infin$，则收敛半径 $r=0$

# 幂函数性质

• 对于幂函数 ${\sum\limits_{n=0}^\infin}a_nx^n$，其和函数 $S(x)$ 在收敛域 $I$ 上是连续的

• 对于幂函数 ${\sum\limits_{n=0}^\infin}a_nx^n$，其和函数 $S(x)$ 在收敛域 $I$ 上是可积的

  有 ${\int\\}^x_0S(t)\ dt=\int^x_0{\sum\limits_{n=0}^\infin}a_nt^n\ dt={\sum\limits_{n=0}^\infin}\int^x_0a_nt^n\ dt={\sum\limits_{n=0}^\infin}\dfrac{a_nx^{n+1}}{n+1}$

  新的幂函数的收敛半径与原幂函数相同。但收敛域的端点处需重新验证。

# 函数的幂级数展开

假设函数 $f(x)={\sum\limits_{n=0}^\infin}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots$

此时有 $a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$，则 $f(x)={\sum\limits_{n=0}^\infin}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 为其 泰勒展开式。当且仅当 $\lim\limits_{n\rarr\infin}R_n(x)=0$ 时（即，余项趋于 0），该等式成立。

$x_0=0$ 时，得到 马克劳林展开式：$f(x)={\sum\limits_{n=0}^\infin}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

常见的函数及其展开式

函数	幂函数展开	取值范围
$e^x$	$1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots$	$(-\infin<x<+\infin)$
$a^x$	$1+\dfrac{x\ln a}{1!}+\dfrac{(x\ln a)^2}{2!}+\dfrac{(x\ln a)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(x\ln a)^n}{n!}+\ldots$	$(-\infin<x<+\infin)$
$sin x$	$\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\ldots$	$(-\infin<x<+\infin)$
$\cos x$	$1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\ldots$	$(-\infin<x<+\infin)$
$\dfrac1{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots$	$(-1<x<1)$
$\dfrac1{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+\ldots+(-1)^nx^n+\ldots$	$(-1<x<1)$
$\dfrac1{1+x^2}$	$1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^nx^{2n}+\ldots$	$(-1<x<1)$
$\arctan x$	$x-\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5-\dfrac{x^7}7+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots$	$(-1\le x\le1)$
$\ln (1+x)$	$x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\ldots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}n$	$(-1<x\le1)$